見かけの質量を導入したところで、まず力を考えます。
※こう一度断っておきますが、「見かけの質量」というのは、このサイトの中だけの言葉です。
見かけの質量を考えるときに出てきた”運動量”から力を考えられます。
どう考えるかというと、エネルギーと等価である仕事から考えていきます。
\(F = \frac{dp}{dt}\)
となるんですがね。
これを使っていろいろしようというわけですね。
ちなみに、\(F = \frac{dp}{dt}\)の根拠は、\(F = m\alpha\)です。
\(\alpha\)は加速度で、\(\frac{dv}{dt}\)になります。
これを\(F = m\alpha\)に入れてやると
\(F = m\alpha = m \frac{dv}{dt}\)
ここで、\(m\)が\(t\)に関係ないものとすると、
\(=\frac {d(mv)}{dt}\)
運動量の定義が\(p = mv\)なので
\(= \frac{dp}{dt}\)
となります。
次にこの式からエネルギー（仕事）を考えます。
\(F = \frac{dp}{dt}\)から仕事を考えていきます。
まず
\(F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\displaystyle\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)\)
\( = \frac{1}{v}\frac{d}{dt}\left(\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)\)
となります。
\(E=Fx\)なので、両辺を\(t\)で微分すると、
\(\frac{dE}{dt} = F\frac{dx}{dt} = Fv = v\times\frac{1}{v}\frac{d}{dt}\left(\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)\)
\(\frac{d}{dt}\)の中身だけを比較すると、
\(E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
\(v\)が\(c\)に比べて非常に小さい時 = \(v\)が私たちの身の回りで起こっているくらいの大きさの時、\(\frac{v^2}{c^2} \approx 0\)なので、
\(E = mc^2\)
となります。
ついにかの有名な\(E = mc^2\)が出てきました。
すぐにでも一般相対性理論に進みたいのですが、ちょっと足踏みします。
ここから先、一般相対性理論に進むためには、4次元のベクトル計算や、それのちょっと進んだ数学（テンソル計算）を学んでおく必要があります。
ということで、次回からはそこをじっくりとご紹介（私にとっては勉強）して、一般相対性理論に進んでいこうと思います。
何事も、土台を作りながら進まないと、思わぬところでつまずいて転んでしまわないとも限りませんのでね。
（私がいきなりディラックさんの「一般相対性理論」に挑んで躓いたように）
それではまた、次のネタでお会いしましょう。
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