あるベクトル\(\boldsymbol{A} ^{\mu}\)に少しベクトル\(\lambda \boldsymbol{B} ^{\mu}\)を足したベクトルについて考えます。

ベクトルにベクトルを足してもベクトルになります。
証明とかは省きます。
ということで、
\(\boldsymbol{A} ^{\mu} +\lambda \boldsymbol{B} ^{\mu}\)
を考えます。
これはもちろんベクトルになります。
ベクトルの中でも、反変ベクトル同士の足し算なので、できたものも反変ベクトルになります。
反変ベクトルということは、その大きさを考えることに意味が出てきます。

ベクトル\(\boldsymbol{A} ^{\mu} +\lambda \boldsymbol{B} ^{\mu}\)の大きさを、計量テンソルを使って表していこうと思います。

反変ベクトルの大きさということは、共変ベクトルを掛け算することで出てきます。
あえて書くなら
\((\boldsymbol{A} _{\mu} +\lambda \boldsymbol{B} _{\mu}) \cdot (\boldsymbol{A} ^{\mu} +\lambda \boldsymbol{B} ^{\mu}) \)
ですね。
ただ、共変ベクトルを軽量テンソルかける反変ベクトルで表すこともできます。
\(\boldsymbol{A} _{\mu} +\lambda \boldsymbol{B} _{\mu} = g_{\mu \nu} (\boldsymbol {A} ^{\nu}+ \lambda \boldsymbol{B} ^{\nu})\)
ですね。
これを①に代入してやると。

\( (\boldsymbol{A} _{\mu} +\lambda \boldsymbol{B} _{\mu}) \cdot (\boldsymbol{A} ^{\mu} +\lambda \boldsymbol{B} ^{\mu}) = g_{\mu \nu} (\boldsymbol {A} ^{\nu}+ \lambda \boldsymbol{B} ^{\nu}) \cdot (\boldsymbol{A} ^{\mu} +\lambda \boldsymbol{B} ^{\mu}) \)

ということで、次はこれを展開計算していきます。
ちなみに、ここで大事なのは、ここで計算しているものが「ベクトルの大きさ」だということ。
そして、ベクトルの大きさは不変だということ。
それでは本編の計算に戻ります。

ちなみにどういう時に普遍かというと、「\(\lambda\) がどんな値であっても」ということです。そのためには、展開したすべての項が\(\lambda\)によらず不変となります。

※毎回思いますが、表題が長いですね。
でも、表題だけを見てある程度内容がわかるようにするとこうなるんですよ。
ご了承ください。

では早速展開して\(\lambda\)でまとめていきます。
\( g_{\mu \nu} (\boldsymbol {A} ^{\nu}+ \lambda \boldsymbol{B} ^{\nu}) \cdot (\boldsymbol{A} ^{\mu} +\lambda \boldsymbol{B} ^{\mu}) \\
= g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\nu} \boldsymbol{A}^{\mu} \\
+ \lambda (g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\mu} \boldsymbol{B}^{\nu} + g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\nu} \boldsymbol{B}^{\mu})\\
+ \lambda^2 g_{\mu \nu} \boldsymbol{B}^{\mu} \boldsymbol{B}^{\nu}\)
となります。
\(\lambda\)によらない項
\(g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\nu} \boldsymbol{A}^{\mu}\)
と、\(lambda^2\)の項
\(g_{\mu \nu} \boldsymbol{B}^{\mu} \boldsymbol{B}^{\nu}\)
は、そのままベクトルの大きさなので不変です。

残った\(\lambda\)の項
\(g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\mu} \boldsymbol{B}^{\nu} + g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\nu} \boldsymbol{B}^{\mu}\)
についてですが、2項目の
\(g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\nu} \boldsymbol{B}^{\mu}\)
について、実は\(\mu\)と\(\nu\)を入れ替えてもよいというのは、前にやっています。
よって、2項目は
\( 2g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\mu} \boldsymbol{B}^{\nu} \)
となります。
これが不変ということは、
\( g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\mu} \boldsymbol{B}^{\nu} \)
が不変ということですね。
そして、これをベクトル\(\boldsymbol{A}^{\mu}\)とベクトル\(\boldsymbol{B}^{\mu}\)のスカラー積とします。

これである程度の道具がそろってきました。次回そのあたりの復讐をしておきましょう。

ここまでで、
ベクトル\(\boldsymbol{A}^{\mu}\)の大きさ
\( g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\mu} \boldsymbol{A}^{\nu} \)
ベクトル\(\boldsymbol{A}^{\mu}\)とベクトル\(\boldsymbol{B}^{\mu}\)のスカラー積
\( g_{\mu \nu} \boldsymbol{A}^{\mu} \boldsymbol{B}^{\nu} \)
ここに出てきた計量テンソル
\(g_{\mu \nu}\)
そして、2つの要素が反変成分の
\(g^{\mu \nu}\)
1つが反変、1つが共変の
\(g^{\mu} _{\nu}\)
が出てきました。
これらがどうやって出てきたかを1回丸々使ってやっておきます。