ベイズ推定、わかったかも!!

趣味を作ることが趣味の、はしびろこうです。
世の中、知っている人にとってはなんてない事でも。
知らない人にとっては、受け入れがたいことって、結構ありますよね。
まあ、特殊相対性理論とか、量子力学とか。

  • 特殊相対性理論
    速く移動すると時間が遅く進む
  • 量子力学
    シュレディンガーの猫(生死重ね合わせの猫)に代表される、状態の重ね合わせ

それでもって、それが初めて腑に落ちた時って、すごく気持ちよくないですか?
忘れてしまったかもしれませんが、補助輪なしの自転車に初めて乗れるようになった時の様に。
大人になるとなかなか味わえない、あの感覚。
それがあるからこそ、私は常に自分にとっての”初めて”を見つけようとして。
「趣味を作ることが趣味」になっているのですが。
そんな体験を、最近しましてね。
思いっきり自然科学関係なので、メインは兄弟サイトの「まんぼうのごとく」に譲るとして、イントロ部分をメインブログでしておこうと思います。
いわば、予告編のようなものですね。
ちなみに本編は、ちょうど2020年9月号のニュートンで、ベイズ推定を特集していたので、それを読んでからお送りする予定です。
それでは本題に移りましょう

さて問題です。「ここに、二つの箱があります。どちらかに1億円入ってるとして、Aさんが1億円の箱を開ける確率は?」

普通に考えて、50%です。
それではさらに条件をつけてみましょう
Aさんが、どちらの箱に1億円入ってるか知っています。
この時Aさんが1億円の箱を開ける確率は?
100%ですか?
いえ、そうとも限らなくて。
もしAさんが1億円の箱を開けると、大切なBさんが死んでしまうとしたら。
Aさんが1億円の箱を開ける確率は?
0%ですか?
そうとも限らなくて。
Aさんが超サイコパスだったとします。
すると・・・
つまり、これらの情報全てを考えないとわからないわけです。

そしてキーワードは、”条件”だったりします。

この”条件”が付いた確率=条件付き確率を扱うものが、ベイズ推定です。
このように条件を付けて確率を考えていくのが、ベイズ推定です。
有名なものでは、3囚人問題とかモンティ・ホール問題というものです。
詳しくはWikipediaを見ていただとして、モンティ・ホール問題についてちょっと触れておきます。
というのも、私が冒頭に書いた”あの(自転車に初めて乗れた時のような)感覚”を感じたのが、モンティ・ホール問題だったもので。
問題
ここに扉が3つあり、アタリの扉(1つ)の向こうには車があり、ハズレの扉(2つ)の向こうにはヤギがいます。
チャレンジャーと司会者がいて、チャレンジャーは3つの扉のうち1つを選びます。
その後、司会者(どの扉がアタリか知っている)が、残った2つの扉のうちのハズレの扉を開けます。(この時、2枚ともハズレであったときは、どちらの扉を開けるかの確率は同じとします)
この後で、チャレンジャーは開ける扉を変更することができます。
チャレンジャーは開ける扉を変更する方がいいのでしょうか?
それとも、最初に選んだ扉のままがいいのでしょうか?
それとも、変更してもしなくても、アタリを引く確率は変わらないのでしょうか?
回答
一見すると、残った扉は2枚ですから、あたりを引く確率は1/2で変更してもしなくても変わらないように思います。
が、重要なのは「過程」であり、そこからくる「ヒント」なのです。
順を追ってみていきましょう。
1.チャレンジャーが1つ扉を選んだ時に、アタリを引いている確率は1/3です。
つまり、残った2つの扉のどちらかにアタリがある確率は2/3です。
2.司会者が残った2つの扉のうちハズレ1つを開けたとします。
この時、司会者が開けなかった方の扉があたりである確率は、先ほどの「残った2つの扉のどちらかにアタリがある確率」と同じ2/3です。
ということは、チャレンジャーは最初に選んだ扉を開けるときの当たりが1/3に対し、扉を変更したときの当たりは2/3でこちらが高くなるのです。

はっきり言いますと、この問題、アメリカの雑誌のコラムに読者投稿問題として出題され、それにマリリン・ボス・サバントさんが正解が示された後、大議論に発展しました。
約1万通に及ぶ投書には、1000人近い博士号保持者が含まれていたそうで、そのほとんどが「回答が間違っている。確率は変更する・しないにかかわらず、1/2だ」というものだったそうです。
不詳、わたくしはしびろこうも、リアルタイムにこの雑誌を読んでいたら、”博士号を持った(間違っている)批判者”になっていただろうという、強烈な自信があります。(笑)
さらにさらに、マリリンさんは2回(?)解説をしたのですが、それでも9割の人が”マリリンさんが間違っている”という、間違った自説を曲げなかったとのこと。
人間、自分の直観に反するものって、認めがたいものなんですよねぇ。
とはいえ、マリリンさん、頭がとってもいいそうで、たぶん(というかWikipediaの内容を見ると)何というか、わっかりにくい解説になっていたような気がします。

ここでも、キーワードは「司会者がハズレの扉を開けた」という”過程”と、それが意味する”ヒント”です。

条件で変わってくる尤度(ゆうど)と言う数値(関数)

尤度とは”確からしさ”の様ですね。
最初に50%と答えた時、実は無意識にある仮定をしていたんですよ、私たちは。
どんな仮定かと言うと、
「Aさんはどちらの箱に1億円が入っているかわからない。」
と言う事ですね。
でも、条件として
「Aさんはどちらの箱に1億円が入っているか知っている」
ってなれば、そりゃ、予想は変わりますよね。
なんか「ずるい〜」と言われそうですが、そう!、ずるいんですよ、実際。
だって、最初からすべての条件を言わずに、小出しにしたんですから。
で、出題者は答えを聞いてから、次の”条件”を出し、回答者に予想の変更を促した。
回答者は、そのたびに次に起こることの予想を修正した。
この場合の出題者(つまり、私ですが)は、とってもずるいわけです。
世にいう、”後出しじゃんけん”というやつですね。

ちょっと話は脱線しましたが、この辺が確からしさとか尤度につながっていく、様な気がします。
尤度をうまく設定しないと、ベイズ推定は正しい答えを出せないんでしょうね、きっと。

そして、ベイズ推定とは、未来を見通すよりも、過去を振り返るときに効果があるとのことですが。

本編がらみで2020年9月のニュートンをちらっと見てみたところ、ベイズ推定は
「今起こっていることから、過去に起こったことを推定する」
という方が得意なんだそうで。
果たしてこれが何を意味するのか?
過去を知ることで何ができるのか?
楽しみです。

さらに、今世間を騒がせている”新型コロナのPCR検査における偽陽性”についても言えるようです。

ヤフコメで見たのですが、あるコメント投稿者がベイズ推定という言葉を使って、「たとえPCR検査で陽性が出ても、本当に陽性である確率は50%なんだ」と言っていました。
ちなみに、ネタバレしておくと、2020年9月のニュートンのベイズ推定特集でもこれを取り上げていて、
PCR検査の正確さが99%で、日本人口の0.1%が新型コロナにかかっているとした場合。
1回の陽性=3.2%,2回連続の陽性=52%, 3回連続の陽性=97%(3回連続だけは私の計算)となります。
よって、先ほどのヤフコメの方は、
「PCRE検査の正確さが99%で日本の新型コロナ感染率を0.1%としたとき、2回連続してPCR陽性となったときの、本当に陽性である確率」の、2%引きを言っているようですね。
ただ、このコメント主は、どうもそこまで考えていなかったようで、いたずらにデマを流しただけのような気がしますが。
なお、日本においてどうか知りませんが、海外では”3回連続陽性”で陽性判定というのが一般的と聞いたことがあります。
もし日本で1回とか2回連続の陽性で陽性判定しているのだとしたら、誰か注意してあげてください。

ということで、本編を楽しみにしていて下さい。
アップしたら、この記事に追記でリンク張りますからね。
それではまた、次のネタでお会いしましょう。

2020年8月25日追記
科学系ブログ「まんぼうのごとく」で本編をスタートしました。
ベイズ統計その1 ニュートン 2020年9月号より
ベイズ統計その2 ニュートン 2020年9月号より

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